מסבכים: שיטת הצמתים
מסבך בנוי ממוטות שמחוברים בצמתים, וכל מוט רק נמתח או נלחץ. במדריך: מה מניחים, איך פותרים צומת אחר צומת, איך מזהים מוט אפס בלי חישוב, ודוגמה פתורה. הזיזו את העומס במודל וראו איך המוטות מחליפים צבע.
מה זה מסבך
מסבך הוא מבנה של מוטות, בדרך כלל מפלדה, שמחוברים בקצוות. נקודת החיבור נקראת צומת. הצורה הבסיסית היא משולש, והמסבך כולו הוא אוסף של משולשים. רואים אותו בגגות של מבני תעשייה, באולמות ובגשרים.
משלוש ההנחות יוצא הדבר החשוב: בכל מוט יש רק כוח צירי, לאורך המוט. המוט מתוח, לחוץ, או מוט אפס. אין בו גזירה ואין בו מומנט.
מתוח או לחוץ: מוסכמת הסימן
כשמחשבים כוח לא ידוע במוט, מניחים תמיד שהמוט מתוח: מציירים את החץ יוצא מהצומת. אחרי החישוב קוראים את הסימן.
- +חיובי = מתיחה. המוט מושך את הצומת אליו. בכל המדריכים של למדא: כחול.
- −שלילי = לחיצה. המוט דוחף את הצומת. מסמנים באדום, ומשנים את כיוון החץ בשרטוט.
- 0מוט אפס. אין בו כוח, אבל הוא מייצב את המסבך ואי אפשר להוריד אותו. באפור.
בצומת הבא כבר מציבים את הכוח בכיוון האמיתי שלו, עם ערך חיובי. כך לא מתבלבלים במינוס פעמיים.
שיטת הצמתים: שלבי עבודה
- תגובות. מסמנים את התגובות לפי סוג הסמך: קבוע נותן שתיים, נייד אחת. פותרים עם ΣFx, ΣFy ו-ΣM סביב סמך, ובודקים במשוואת מומנטים סביב הסמך השני.
- מוטות אפס. לפני שמחשבים, מסמנים את מוטות האפס לפי שני הכללים בהמשך. כל מוט כזה הוא נעלם פחות.
- צומת עם 2 נעלמים לכל היותר. בצומת יש רק שתי משוואות, ΣFx ו-ΣFy. מתחילים מצומת קצה או מצומת של סמך.
- פירוק כוחות. מוט אלכסוני מפרקים לרכיבים: Nx = N·cosα ו-Ny = N·sinα, כש-α נמדדת מהאופק. את הזווית מוצאים מ-tanα: הגובה חלקי האורך.
- ממשיכים לצומת הבא שנשארו בו 2 נעלמים, עד שכל המוטות שנשאלו פתורים. במבחן מה״ט לא מחשבים מוטות שלא נשאלו.
- טבלה. מספר מוט, גודל הכוח ב-kN, ומילה: מתיחה, לחיצה או אפס.
דוגמה פתורה: מסבך של 3 שדות
שלושה שדות של 2 מטר וגובה 2 מטר, ולכן כל האלכסונים ב-45°. סמך קבוע ב-A וסמך נייד ב-B. בצומת D כוח של 30 קילוניוטון כלפי מטה, ובצומת E כוח של 15 קילוניוטון ימינה.
יש 6 צמתים ו-9 מוטות. בדיקה: 2·6 − 3 = 9, ולכן המסבך מסוים. צריך את התגובות ואת הכוחות בכל המוטות.
- תגובות. מ-ΣFx: Ax + 15 = 0, ולכן Ax = 15 kN ←. מומנטים סביב A: By·6 − 30·4 − 15·2 = 0, ולכן By = 25 kN ↑. מ-ΣFy: Ay = 30 − 25 = 5 kN ↑.
- צומת A, מוטות 1 ו-2. מ-ΣFy: 5 + N1·sin45 = 0, ולכן N1 = −7.07, לחיצה. מ-ΣFx: −15 + N1·cos45 + N2 = 0, ולכן N2 = 20, מתיחה.
- צומת C. מוטות 2 ו-4 על קו אחד, מוט 3 ניצב להם, ואין עומס בצומת. לכן N3 = 0 ו-N4 = N2 = 20, בלי חישוב.
- צומת E, מוטות 5 ו-6. מוט 1 לחוץ ודוחף את E ב-5 קילוניוטון בכל ציר. מ-ΣFy: 5 − N6·sin45 = 0, ולכן N6 = 7.07, מתיחה. מ-ΣFx: 5 + 15 + N5 + 5 = 0, ולכן N5 = −25, לחיצה.
- צומת B, מוטות 8 ו-9. מ-ΣFy: 25 + N9·sin45 = 0, ולכן N9 = −35.36, לחיצה. מ-ΣFx: −N8 − N9·cos45 = 0, ולכן N8 = 25, מתיחה.
- צומת F, מוט 7 ובדיקה. מ-ΣFx: 25 − 25 = 0 ✓. מ-ΣFy: N7 = 25, מתיחה. בצומת D שתי המשוואות מתאפסות, וזו הבדיקה שהכול נכון.
| מוט | צמתים | N [kN] | מצב |
|---|---|---|---|
| 1 | A–E | 7.07 | לחיצה |
| 2 | A–C | 20.00 | מתיחה |
| 3 | C–E | 0 | מוט אפס |
| 4 | C–D | 20.00 | מתיחה |
| 5 | E–F | 25.00 | לחיצה |
| 6 | E–D | 7.07 | מתיחה |
| 7 | D–F | 25.00 | מתיחה |
| 8 | D–B | 25.00 | מתיחה |
| 9 | F–B | 35.36 | לחיצה |
2 כללים למוט אפס
- צומת של 3 מוטות. שניים על קו אחד, השלישי בכל זווית אחרת, ואין עומס חיצוני בצומת. המוט השלישי הוא מוט אפס, ושני האחרים שווים בכוח.
- צומת של 2 מוטות. המוטות לא על קו אחד ואין עומס חיצוני בצומת. שניהם מוטות אפס.
במודל למעלה: כשהעומס ב-D, שלושת האנכיים אפורים. בצמתים C ו-E החגורה התחתונה על קו אחד, ובצומת G החגורה העליונה. העבירו את העומס ל-C, והאנכי שם מקבל את כל 30 הקילוניוטון.
מתי עוברים לשיטת החתכים
שיטת הצמתים מחייבת להתקדם צומת אחר צומת. כששואלים על מוט באמצע מסבך ארוך, צריך לפתור לפניו הרבה מוטות, וכל טעות עוברת הלאה. שיטת החתכים (ריטר) מגיעה למוט ישר.
חותכים 3 מוטות
קו חתך שעובר דרך שלושה מוטות בלבד, ולא נפגשים כולם בנקודה אחת. המסבך מתחלק לשני חלקים.
בוחרים צד
עובדים עם החלק שיש בו פחות כוחות. המוטות החתוכים מסומנים מתוחים, כמו בשיטת הצמתים.
מומנט בנקודת מפגש
סביב הנקודה שבה נפגשים שני מוטות חתוכים. נשאר נעלם אחד, המוט השלישי.
מסבך במבחן מה״ט
בשאלון 90322 שאלת המסבך מופיעה כמעט בכל מועד, בסוף השאלון, ומשקלה 33 נקודות. המבנה של השאלה חוזר:
בכמעט כל מועד יש עומס אופקי, לפחות מוט אפס אחד, וזווית שצריך לחשב מהמידות. בחלק מהמועדים יש גם חתך אחד בשיטת ריטר. בסעיף הקריסה הכוח במוט נתון, כך שטעות בחלק הקודם לא גוררת אחריה את כל השאלה.
5 טעויות נפוצות
ללמוד מסבכים עם למדא
כדי לפתור שאלת מסבך של מה״ט בזמן, צריך לראות אותה נפתרת כמה פעמים ולתרגל לבד:
מה לומדים אחרי זה
שאלות נפוצות
מה ההבדל בין שיטת הצמתים לשיטת החתכים?
בשיטת הצמתים פותרים צומת אחר צומת, עם שתי משוואות בכל צומת. בשיטת החתכים (ריטר) חותכים 3 מוטות ומוצאים מוט אחד ממשוואת מומנטים. כשצריך מוט באמצע מסבך ארוך, חתך מהיר יותר.
איך יודעים אם מוט מתוח או לחוץ?
מניחים שכל מוט מתוח ומציירים את הכוח יוצא מהצומת. תוצאה חיובית היא מתיחה, ותוצאה שלילית היא לחיצה.
למה יש במסבך מוטות אפס?
הם מייצבים את המבנה ומקצרים את אורך הקריסה של מוטות לחוצים. בעומס אחר הם כבר נושאים כוח.
אפשר לבדוק את הפתרון שלי?
כן. בכלי מסבכים ב-LAB בונים את המסבך מהשאלה ומקבלים תגובות, כוחות בכל המוטות ופתרון צומת אחר צומת.